Xét hàm $f(x) = \tan x - x - \dfrac{x^3}{3}, \ x \in [0,\ \dfrac{\pi}{2})$
$f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 - x^2 = 1 + \tan^2 x - 1 - x^2 = \tan^2 x - x^2 = (\tan x + x)(\tan x - x)$
Với $x \in [0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow \tan x + x > 0$
Xét $g(x) = \tan x - x, \ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 \ge 0 , x \in[0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow g(x) \ge 0$
$\Rightarrow f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x) > f(0) = 0$ đpcm