Ta có thể làm bài toán như sau.... Vấn đề đặt ra là phải khử phần $1+\sqrt[3]{abc}$.. Vậy ta đổi biến
$\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \frac{kx}{y};\frac{ky}{z};\frac{kz}{x} \right ),k>0$
Sau khi thay vào BĐt và biến đổi tý xíu. Ta sẽ được:
$\frac{yz}{xy+kxz}+\frac{xz}{yz+kxy}+\frac{xy}{xz+kyz}\geq \frac{3k}{k+k^2}   (*)$
Nhân thêm vào VT(*) mỗi phân số lần lượt $yz,xz,xy$ Áp dụng Cauchy schwarz ta có
$VT(*)\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{(1+k)[xyz(x+y+z)]}\geq\frac{3k}{k+k^2} $ đúng do
$(k+k^2)(xy+yz+xz)^2\geq (k+k^2)3xzy(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+z+y)$ đúng
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\Leftrightarrow a=b=c$