giúp em câu này với, mong mọi người giải thích kĩ vì em không hiểu câu này lắm

Question

Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm nằm trong tam giác. $H, I, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:

$a^{2}\overrightarrow{MA}+b^{2}\overrightarrow{MB}+c^{2}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Đức Vỹ · Answer 1 · 10/2/2013 11:27:31 AM

Với mọi tam giác $ABC$ và điểm $M$ trong tam giác ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
{S_a}\overrightarrow {MA} + {S_b}\overrightarrow {Mb} + {S_c}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & & & (1)\\
\frac{a}{{MH}}\overrightarrow {MH} + \frac{b}{{MI}}\overrightarrow {MI} + \frac{c}{{MK}}\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 & & & (2)
\end{array} \right.$

Biến đổi tương đương:
$M$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow {S_a} = {S_b} = {S_c}\\
\Leftrightarrow a.MH = b.MI = c.MK\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{({\frac{a}{{MH}}})} = \frac{{{b^2}}}{({\frac{b}{{MI}}})} = \frac{{{c^2}}}{({\frac{c}{{MK}}})}
\end{array}$
$ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MH} + {b^2}\overrightarrow {MI} + {c^2}\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 $( theo $(2)$).