Ta có pt hoành độ giao điểm của (C) và d là:x3−(m+1)x2+x+2m+1=x+m+1⇔x3−(m+1)x2+m=0⇔(x−1)(x2−mx−m)=0(1)
⇔[x=1x2−mx−m=0(2)
Để (C) cắt (d) tại 3 điểm pb A,B,C thì pt (1) phải có 3 nghiệm pb hay pt (2) có 2 nghiệm pb khác 1
Điều kiện: {m2+4m>01−m−1≠0⇔{m<−4⊻m>0m≠0⇔m<−4⊻m>0(∗)
Gọi A(1,m+2),B(x1;x1+m+1),C(x2;x2+m+1)
Do x1,x2 là nghiệm của pt (2) nên theo vi-et ta có: {x1+x2=mx1.x2=−m
Ta có y′=3x2−2(m+1)x+1⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B, C lần lượt là:
y′(1)=2−2m
y′(x1)=3x21−2(m+1)x1+1
y′(x2)=3x22−2(m+1)x2+1
Theo giả thiết ta có: y′(1)+y′(x1)+y′(x2)=12
⇔2−2m+3x21−2(m+1)x1+1+3x22−2(m+1)x2+1=12
⇔3(x21+x22)−2(m+1)(x1+x2)+4−2m=12
⇔m2+2m−8=0
⇔[m=2TM(∗)m=−4khôngTM(∗)
Vậy với m=2 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.