Cách 1
Áp dụng liên tiếp BĐT Bunhia ta có
$\bullet (x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3})^2 \le (x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})(x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4})$
$\Rightarrow P =\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}} \ge \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}} $
$\bullet (x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})^2 \le (x+y+z+t)(x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3})$
$\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}} \ge \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{x+y+z+t} $
$\bullet (x+y+z+t)^2 \le (x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})(1+1+1+1)=4(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})$
$\Rightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{x+y+z+t} \ge \frac{x+y+z+t}{4} =\frac{1}{2}$
Tóm lại $P \ge \frac{1}{2}$ và đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=t=\frac{1}{4}$.
Vậy $\min P =\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=y=z=t=\frac{1}{4}$.