Đặt: P=a4(a+b)(a2+b2)+b4(b+c)(b2+c2)+c4(c+d)(c2+d2)+d4(d+a)(d2+a2)
Q=b4(a+b)(a2+b2)+c4(b+c)(b2+c2)+d4(c+d)(c2+d2)+a4(d+a)(d2+a2)
Ta có:
P−Q=a4−b4(a+b)(a2+b2)+b4−c4(b+c)(b2+c2)+c4−d4(c+d)(c2+d2)+d4−a4(d+a)(d2+a2)
=(a−b)+(b−c)+(c−d)+(d−a)=0
Suy ra:
2P=a4+b4(a+b)(a2+b2)+b4+c4(b+c)(b2+c2)+c4+d4(c+d)(c2+d2)+d4+a4(d+a)(d2+a2)
≥(a2+b2)22(a+b)(a2+b2)+(b2+c2)22(b+c)(b2+c2)+(c2+d2)22(c+d)(c2+d2)+(d2+a2)22(d+a)(d2+a2)
≥a2+b22(a+b)+b2+c22(b+c)+c2+d22(c+d)+d2+a22(d+a)
≥(a+b)24(a+b)+(b+c)24(b+c)+(c+d)24(c+d)+(d+a)24(d+a)
≥a+b4+b+c4+c+d4+d+a4=a+b+c+d2
Suy ra: P≥a+b+c+d4
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=c=d