ĐK $x\ge \dfrac{2}{3}$
pt $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\log_3^2 x = \log_3 x \log_3 (\sqrt{3x-1}-1)$
$\Leftrightarrow \log_3 x \bigg [ \log_3 x - 2\log_3 (\sqrt{3x-1}-1) \bigg ]=0$
+ $\log_3 x = 0 \Leftrightarrow x=1$
+ $\log_3 x - 2\log_3 (\sqrt{3x-1}-1) =0$
$\Leftrightarrow \log_3 x =\log_3 (\sqrt{3x-1}-1)^2$
$\Leftrightarrow x=(\sqrt{3x-1}-1)^2 = 3x-2\sqrt{3x-1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x-1}=x$
$\Leftrightarrow x^2 -3x+1=0$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt 5)$