giúp em mấy bài này với,

Question

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cauchy - Schwart (Nếu không thì dùng cách nào cũng được):
1. Cho $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$. Chứng minh $x+y+z\leq 4$.
2. Chứng minh: $a+b+c\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2a}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2b}\leq \frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ca}+\frac{c^{3}}{ab}$
3. Chứng minh: $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}$
4. Chứng minh: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
5. Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{ab}}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$
6. Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Câu 5. Cosi cho cái căn ở mẫu. Rồi C-S. biến đổi tương đương
Câu 3 nhân a,b,c,d lần lượt zo rồi áp dụng C-S. SAu đó biến đổi tương đương

score 7 · Answer 1

Bai 6:

Ta có: $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$+$\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}$+$\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}$

$=$ $a$$-$$b$ $+$ $b$$-$$c$$+ $$c$$-$$a$ $=$ $0$

$\Rightarrow$ $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$+$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$+$\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

$=$ $\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$+$\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}$+$\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Do đó :$ 2$$VT$$=$$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}$$+$$\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}$$+$$\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}$

Vì $3$$($$a^2$$-$$ab$$+$$b^2$$)$$\geq$$a^2$$+$$ab$$+$$b^2$ $\Leftrightarrow$$2$$($$a$$-$$b$$)$$^2$$\geq$$0$$($ luôn đúng$)$

nên $3$$($$a^3$$+$$b^3$$)$$=$$3$$($$a$$+$$b$$)$$($$a^2$$-$$ab$$+$$b^2$$)$$\geq$$($$a$$+$$b$$)$$($$a^2$$+$$ab$$+$$b^2$$)$

$\Rightarrow$$a^3$$+$$b^3$$\ge$$\frac{(a+b)(a^2+ab+b^2)}{3}$

Thay vào là ra

score 6 · Answer 2

bai 2:

Giả sử 0 < a $\leq$ b $\leq$ c. Xét hai dãy cùng chiều $a^2$ $\leq$ $b^2$$\leq$$c^2$ và $\frac{1}{c}$$\leq$$\frac{1}{b}$$\leq $$\frac{1}{a}$ ta có:

$a+b+c$ $\leq$ $\frac{a^2}{c}$+$\frac{b^2}{a}$+$\frac{c^2}{b}$ $(1)$ và $a+b+c$$\leq$$\frac{a^2}{b}$+$\frac{b^2}{c}$+$\frac{c^2}{a}$ $(2)$

Cộng $(1)$ và $(2)$ rồi chia cho 2 ta được :

$a+b+c$ $\leq$$\frac{1}{2}$.$($$\frac{a^2+b^2}{c}$+$\frac{b^2+c^2}{a}$+$\frac{c^2+a^2}{b}$$)$ $(3)$

Xét hai dãy cùng chiều $a^3$$\leq$$b^3$$\leq$$c^3$ và $\frac{1}{bc}$$\leq$$\frac{1}{ca}$$\leq$$\frac{1}{ab}$ ta có:

$\frac{a^3}{bc}$+$\frac{b^3}{ca}$+$\frac{c^3}{ab}$$\geq$ $\frac{a^3}{ab}$+$\frac{b^3}{bc}$+$\frac{c^3}{ca}$$=$$\frac{a^2}{b}$+$\frac{b^2}{c}$+$\frac{c^2}{a}$ $(4)$

và $\frac{a^3}{bc}$+$\frac{b^3}{ca}$+$\frac{c^3}{ab}$$\geq$$\frac{a^3}{ac}$+$\frac{b^3}{ab}$+$\frac{c^3}{bc}$$=$ $\frac{a^2}{c}$+$\frac{b^2}{a}$+$\frac{c^2}{b}$$(5)$

Từ $(4)$ và $(5)$suy ra:

$\frac{a^3}{bc}$+$\frac{b^3}{ca}$+$\frac{c^3}{ab}$$\geq $$\frac{1}{2}$.$($$\frac{a^2+b^2}{c}$+$\frac{b^2+c^2}{a}$+$\frac{c^2+a^2}{b}$$)$ $(6)$

Từ $(3)$ và $(6)$ suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a$=$b$=$c$ = 1