PHƯƠNG TRÌNH:

Question

$\sqrt{5x^{2}+14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}$

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Điều kiện: $x\ge5$.

Bình phương 2 vế, ta có:

$(5x^2+14x+9)-(5\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20})^2=0$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{(x-5)(x+1)(x+4)}$

$\Leftrightarrow (2x^2-5x+2)^2-25(x-5)(x+1)(x+4)=0$

$\Leftrightarrow (x-8)(4x+7)(x^2-5x-9)=0$

Kết hợp điều kiện, ta được: $x\in\{8;\dfrac{5+\sqrt{61}}{2}\}$

haohaopasta · Answer 2 · 1/10/2014 8:19:27 PM

Điều kiện:

⎧⎩⎨5x2+14x+9≥0x2−x−20≥0 x+1≥0⇔⎧⎩⎨(x+1)(5x+9)≥0(x+4)(x−5)≥0 x≥−1 (2)
Ta có:

(1)⇔5x2+14x+9−−−−−−−−−−−√=x2−x−20−−−−−−−−−√+51+x−−−−√ (3)
Bình phương trình các vế của

(2) có

(3)⇔2x2−5x+2=5(x2−x−20)(x+1)−−−−−−−−−−−−−−−−√

⇔2x2−5x+2=5(x+4)(x−5)(x+1)−−−−−−−−−−−−−−−−√ (4)

⇔3(x+4)+2(x2−4x−5)=5(x+4)(x2−4x−5)−−−−−−−−−−−−−−−−√ (5)
* Với

x=5 ta có

(5)⇔27=0 ( mâu thuẫn)
Phương trình không có nghiệm

x=5 (6)
* Với

x>5 đặt

x+5−−−−√=tx2−4x−5−−−−−−−−−√,t>0, phương trình

(5) trở thành

3(x2−4x−5)t2+2(x2−4x−5)=5(x2−4x−5)t⇔3t2−5t+2=0⇔⎡⎣t=1t=23 ( thích hợp)
+ Với

t=1, có

x+4=x2−4x−5⇔x2−5x−9=0⇔x=5±61−−√2 (7)
Từ

(2),(7) suy ra

x=5±61−−√2 (8)
+ Với

t=23, có

x+4=49(x2−4x−5)⇔4x2−25x−56=0⇔{x=8;x=−74} (9)
Từ

(2),(8) suy ra

x=8 (10)
Từ các kết quả

(6),(8),(10) kết luận tập hợp của phương trình đã cho là:

{5±61−−√2;x=8 }

Đức Vỹ · Answer 3 · 1/10/2014 2:59:16 PM

Điều kiện: $\begin{cases}5x^2+14x+9 \geq 0 \\ x^2-x-20 \geq 0 \\ x+1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+1)(5x+9) \geq 0 \\ (x+4)(x-5) \geq 0 \\ x \geq -1 \end{cases}        (2)$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{1+x}       (3)$
Bình phương trình các vế của $(2)$ có $(3) \Leftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{(x^2-x-20)(x+1)}$
$\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{(x+4)(x-5)(x+1)}     (4)$
$\Leftrightarrow 3(x+4)+2(x^2-4x-5)=5\sqrt{(x+4)(x^2-4x-5)}                  (5)$
* Với $x=5$ ta có $(5) \Leftrightarrow 27=0$ ( mâu thuẫn)
Phương trình không có nghiệm $x=5                                              (6) $
* Với $x>5$ đặt $\sqrt{x+5}=t\sqrt{x^2-4x-5}, t>0$, phương trình $(5)$ trở thành
$3(x^2-4x-5)t^2+2(x^2-4x-5)=5(x^2-4x-5)t \Leftrightarrow 3t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=1}\\
{t=\frac{2}{3}}
\end{array}} \right.$ ( thích hợp)
+ Với $t=1$, có $x+4=x^2-4x-5 \Leftrightarrow x^2-5x-9=0 \Leftrightarrow x=\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}    (7)$
Từ $(2),(7)$ suy ra $x=\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}                                        (8)$
+ Với $t=\frac{2}{3}$, có $x+4=\frac{4}{9}(x^2-4x-5) \Leftrightarrow 4x^2-25x-56=0 \Leftrightarrow \left\{ {x=8;x=-\frac{7}{4}} \right\}             (9)$
Từ $(2),(8)$ suy ra $x=8                           (10)$
Từ các kết quả $(6),(8),(10)$ kết luận tập hợp của phương trình đã cho là:
          $\left\{ {\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}; x=8 } \right\}$