Đặt $u_n = \left ( 1-\tfrac{4}{1^{2}} \right )\left ( 1-\frac{4}{3^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{4}{\left ( 2n-1 \right )^{2}} \right )$ thì bài toán chuyển về tìm $\lim u_n$ khi biết
$\begin{cases}u_1= 1-\tfrac{4}{1^{2}}=-3 \\ u_{n+1}=u_n \left ( 1-\frac{4}{\left ( 2n+1 \right )^{2}} \right) \end{cases}$.
Viết lại hệ thức truy hồi dưới dạng
$u_{n+1}=u_n.\frac{(2n-1)(2n+3)}{(2n+1)^2} \Leftrightarrow \frac{2n+1}{2n+3}u_{n+1}=\frac{2n-1}{2n+1}u_n $.
Từ đó suy ra
$\frac{2n-1}{2n+1}u_n = \frac{2n-3}{2n+1}u_{n-1}= \dots=\frac{1}{3}u_{1}=-1$.
Do đó $u_n =-\frac{2n+1}{2n-1}\Rightarrow \lim u_n=-1.$