giúp với, gấp lắm

Question

Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp lượng giác hóa:

$\frac{1}{2}\leq \frac{1+x^{4}}{1+x^{2}}\leq 1$ ,

$\forall x$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/19/2014 5:12:02 PM

Đặt

$x=\tan t$ . Suy ra

$\frac{1+x^4}{1+x^2}=\frac{1+\tan^4 t}{1+\tan^2 t}=\frac{1+\tan^4 t}{\frac{1}{\cos^2 t}}=\cos^2t(1+\tan^4 t)=\cos^2t+\frac{\sin^4t}{\cos^2t}$

$=\cos^2 t+\frac{(1-\cos^2 t)^2}{\cos^2t}=\cos^2 t+\frac{1-2\cos^2t+\cos^4t}{\cos^2t}=2\cos^2t +\frac{1}{\cos^2t}-2$

Aps dụng BĐT Cô-si:

$\frac{1+x^4}{1+x^2} \ge 2\sqrt{2\cos^2t .\frac{1}{\cos^2t}}-2 =2\sqrt 2 -2 > \frac12$ .

BĐT

$\frac{1+x^4}{1+x^2} \le 1$ sai vì cho

$x=2$ thì

$\frac{1+x^4}{1+x^2}=\frac{17}{5}>1$ .

Trả lời 19-01-14 05:12 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. – Trần Nhật Tân 19-01-14 05:13 PM