Cần giải đáp về cách làm một bài toán Tích phân của anh Trần Nhật Tân.

Question

Tính tích phân:$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{4\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^3}dx$$
Lời giải đã có ở Link này của anh Tân tức dùng ý tưởng $\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)\right]'dx=f(x)\left|\begin{array}{l}b\\a\end{array}\right.$ và $\int\limits_{a}^{b}\left(u'v+v'u\right)dx=uv\left|\begin{array}{l}b\\a\end{array}\right.$ nhưng trong cách làm ở khung màu tím anh ấy dùng thủ thuật thế nào để có thể tìm ra $u$ và $v$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}u=\sin2x+1\\v=\sin2x-\cos2x+2 \end{array} \right.$ thì em không hiểu ạ, em thì nghĩ tức là dưới mẫu anh ấy nhận thấy có $\boxed{\sin2x+1}$ nên trên tử phân tích thành $\left(\sin2x+1\right)\times\boxed{v}+\left(\sin2x+1\right)'\times\boxed{v'}$ thì câu hỏi đặt ra ta làm thế nào để tìm $\boxed{v}?$ Em rất mong nhận được sự giải thích cặn kẻ cách tìm ở anh Tân hay các anh khác trên này nếu biết có thể chỉ cho em với ạ, em cảm ơn rất nhiều ạ.