3. Đây là một bài toán đáp số rất "lẻ". Gợi ý như sau:
Điều kiện $x \ge -1$.
Dễ thấy nếu $x \ge 0$ thì BPT luôn đúng, xét $-1 \le x <0$ thì BPT
$\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}+2-3(-x)\sqrt{x+1}\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}+2-3\sqrt{x^{3}+x^{2}}\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{3}+x^{2}}-1 \right )\left ( \sqrt{x^{3}+x^{2}}-2 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \ge 2\\ \sqrt{x^{3}+x^{2}} \le 1 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x^{3}+x^{2} \ge 4\\ x^{3}+x^{2}\le 1 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x^{3}+x^{2}-4 \ge 0\\ x^{3}+x^{2}-1\le 0 \end{matrix}} \right.$
Các BPT bậc ba này đều có nghiệm không đẹp, muốn giải quyết phải sử dụng phương pháp giải PT bậc ba tổng quát Cardano.