Vì $n+1$ và $2n+1$ là số chính phương nên đặt $n+1=k^2,2n+1=m^2(k,m \in N)$Ta có $m$ là số lẻ $\Rightarrow m=2a+1\Rightarrow m^2=4a(a+1)+1$
$\Rightarrow n=\frac{m^2-1}{2}=\frac{4a(a+1)}{2}=2a(a+1)$
$\Rightarrow n$ chẵn $\Rightarrow n+1$ lẻ$\Rightarrow k$ lẻ $\Rightarrow$ Đặt $k=2b+1 ($ với $b \in N )$
$\Rightarrow k^2=4b(b+1)+1 \Rightarrow n=4b(b+1)\Rightarrow n$ chia hết cho $8 (1)$
Ta có: $k^2+m^2=3n+2 \equiv 2(mod 3)$
Mặt khác $k^2 $ chia cho$ 3$ dư $0$ hoặc $1, m^2$ chia cho $3$ dư $0$ hoặc $1$
Nên để $k^2+m^2\equiv 2 ( mod 3)$ thì $k^2\equiv 1(mod 3)$
$m^2\equiv 1(mod 3)$
$\Rightarrow m^2-k^2 $ chia hết cho $3$ hay $(2n+1)-(n+1)$ chia hết cho $3\Rightarrow n$ chia hết cho $3 (2)$
Mà $(8;3)=1 (3)$
Từ $(1),(2)$ và $ (3)\Rightarrow n$ chia hết cho $24$.