đề thi HSG tỉnh phú thọ đây 2013-2014, ai hứng thú thì làm ạ em làm bài kém quá

Question

Câu 1:
a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2−4xy+4x−8y−12=0$
b) Cho $p(x)=x^3−3x^2+14x−2$. Tìm các số tự nhiên $x<100$ sao cho $p(x)$ chia hết cho $11$

Câu 2
a) Tính giá trị biểu thức
$P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2} $ với $a=\sqrt[a]{55+\sqrt{3024} } +\sqrt[a]{55-\sqrt{3024} }$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\z^3=3z-1 \end{array} \right. $
Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.
a) Giải phương trình : $3x−1+\frac{x-1}{4x} =\sqrt{3x+1} $
b) Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{array} \right.$

Câu 4.
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi nội tiếp $\Delta EAF$ quay quanh A và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với A so với $BC, AF,AE$ cắt BC tại M,N. Lấy điểm D sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.
a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : I luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\Delta EAF$ quay quanh A.
c) Tìm min của $OI$ khi góc $EAF=60^0,BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :
$∑\frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy} \geq 4xyz$

Bạn chú ý là từ lần sau khi đăng câu hỏi không dc coppy vào như thế này, mà phải gõ trực tiếp từ bàn phím vào.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 4/26/2014 10:32:55 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

2. $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2} $ với $a=\sqrt[]{55+\sqrt{3024} } +\sqrt[]{55-\sqrt{3024} }$

Đặt $x_1=\sqrt[]{55+\sqrt{3024} } , x_2=\sqrt[]{55-\sqrt{3024} }$ thì $x_1x_2=1.$

Mặt khác $x_1^2+x_2^2=110\Rightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=110$

$\Rightarrow a^2=112\Rightarrow a=\sqrt{112}.$

Ngoài ra

$P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2} =\frac{a+2}{a-2}=\frac{\sqrt{112}+2}{\sqrt{112}-2}$

Trả lời 26-04-14 10:32 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 26-04-14 10:33 PM