PT tương giao: $\dfrac{x-1}{-2x+1}=x+m\Leftrightarrow 2x^2+2mx-m-1=0\quad (1)$
Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt $\Delta'=m^2+2(m+2)=m^2+2m+4>0$, luôn thoả mãn $\forall m.$
Gọi $A(a,a+m),B(b,b+m)$ là toạ độ giao điểm thì $a,b$ là hai nghiệm của $(1)$. Ta có
$\triangle OAB$ vuông tại $O$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+(a+m)(b+m)=0 \quad (2)$.
Theo Vi-ét:
$\begin{cases}a+b=-m \\ ab=-\frac12(m+1) \end{cases}\Rightarrow (2)\Leftrightarrow 2ab+m(a+b)+m^2=0.$
$\Leftrightarrow -(m+1)-m^2+m^2=0\Leftrightarrow m=-1.$