PT tương giao: $\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow 2x^2+mx+m+2=0\quad (1)$
Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt $\Delta=m^2-8(m+2)>0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m>4+4\sqrt2\\ m<4-4\sqrt 2 \end{matrix}} \right.$
Gọi $A(a,2a+m),B(b,2b+m)$ là toạ độ giao điểm thì $a,b$ là hai nghiệm của $(1)$. Ta có
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $IAB$ thì
$\begin{cases}x_G=\frac{1}{3}(-1+a+b) \\ y_G=\frac13\left ( 2+2a+2b+2m \right ) \end{cases}$
Suy ra $G \in (y=2x-2)\Leftrightarrow \frac13\left ( 2+2a+2b+2m \right )=\frac{2}{3}(-1+a+b)-2 \quad (2)$
Theo Vi-ét:
$a+b=-\frac12m \Rightarrow (2) \Leftrightarrow \frac13\left ( 2-m+2m \right )=\frac{2}{3}(-1-\frac12m)-2$
$\Leftrightarrow m=-5$.