Định lý giá trị trung bình khó nên chỉ sử dụng ở các kì thi toán tầm cỡ như tỉnh,quốc gia,olympic quốc tế,...thôi. Trường làm gì ra mà bạn lo xa thếĐể giúp bạn hiểu mình sẽ đưa 1 ít ví dụ nhé
A. Tóm tắt lý thuyết
Định lý phát biểu như sau: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn $[a;b]$. Nếu $f(a)\neq f(b)$ thì với mổi số thực M nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$, tồn tại ít nhất mội điểm $c \in (a;b)$ sao cho $f(c)=M$
Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn $[a,b]$ và $f(a).f(b)<0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a;b)$ sao cho $f(c)=0$
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó
B. Bài tập ứng dụng
Bài 1. Chứng minh phương trình $x^3-x+1$ có 3 nghiệm phân biệt. Tính tổng lũy thừa bậc 8 của 3 nghiệm đó.(Olympic Việt Nam)
Giải:
Xét hàm số: $y=f(x)=x^3-x+1$ thì f liên tục trên $D=R$
Ta có:
$f(-2)=-5<0;f(0)=1>0;f(\frac{1}{\sqrt{3}})=1-\frac{2}{\sqrt{3}}<0;f(1)=1$
Nên phương trình có nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$
Theo định lý Viet: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0;x_{1}.x_{2}+x_{2}.x_{3}+x_{1}.x_{3}=-1;x_{1}.x_{2}.x_{3}=-1$
Ta có: $x^3_{i}-x_{i}+1=0\Rightarrow x^3_{i}=x_{i}-1$
$\Rightarrow x^5_{i}=x^3_{i}-x^2_{i}=-x^2_{i}+x_{1}-1$ nên $x^8_{i}=2x^2_{i}-3x_{i}+2$
Do đó: $T=\sum_{i=1}^{3}x^8_{i}=2\sum_{i=1}^{3}x^2_{i}-3\sum_{i=1}^{3}x_{i}+6 $
$=2[(\sum_{i=1}^{3}x_{1})^2-2\sum_{i,j=1,i\neq j}^{3}x_{i}.x_{j}]-3\sum_{i=1}^{3}x_{i}+6=10 $