Định lý giá trị trung bình khó nên chỉ sử dụng ở các kì thi toán tầm cỡ như tỉnh,quốc gia,olympic quốc tế,...thôi. Trường làm gì ra mà bạn lo xa thếĐể giúp bạn hiểu mình sẽ đưa 1 ít ví dụ nhé
A. Tóm tắt lý thuyết
Định lý phát biểu như sau: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a)≠f(b) thì với mổi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất mội điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=M
Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó
B. Bài tập ứng dụng
Bài 1. Chứng minh phương trình x3−x+1 có 3 nghiệm phân biệt. Tính tổng lũy thừa bậc 8 của 3 nghiệm đó.(Olympic Việt Nam)
Giải:
Xét hàm số: y=f(x)=x3−x+1 thì f liên tục trên D=R
Ta có:
f(−2)=−5<0;f(0)=1>0;f(1√3)=1−2√3<0;f(1)=1
Nên phương trình có nghiệm phân biệt x1,x2,x3
Theo định lý Viet: x1+x2+x3=0;x1.x2+x2.x3+x1.x3=−1;x1.x2.x3=−1
Ta có: x3i−xi+1=0⇒x3i=xi−1
⇒x5i=x3i−x2i=−x2i+x1−1 nên x8i=2x2i−3xi+2
Do đó: T=3∑i=1x8i=23∑i=1x2i−33∑i=1xi+6
=2[(3∑i=1x1)2−23∑i,j=1,i≠jxi.xj]−33∑i=1xi+6=10