Ai giải ra thì cho xin chữ kí

Question

Tính tích phân

$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{x^{2}\sin x+1}{1+2\cos ^{2}x}dx $

cảm ơn anh chuyên cơ nha, khỏi phải mất sò,hay quá
cưa làm 2 tích phân rồi đặt x =-t cho cái đầu là ra = 0.. cái tp sau chia ca tử mẫu cho cos^2x là xong

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 4/27/2014 8:03:38 PM

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$. Ta có

$I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}\frac{-t^{2}\sin t+1}{1+2\cos ^{2}t}(-dt) =\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{-t^{2}\sin t+1}{1+2\cos ^{2}t}dt=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{2}{1+2\cos ^{2}t}dt-\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{t^{2}\sin t+1}{1+2\cos ^{2}t}dt=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{2}{1+2\cos ^{2}t}dt-I.$

Suy ra

$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+2\cos ^{2}t}dt$

Đặt $u=\tan t\Rightarrow du=\frac{dt}{\cos^2t}$. Suy ra

$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+2\cos ^{2}t}dt=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\frac{1}{\cos^2t}}{\frac{1}{\cos^2t}+2}dt=\int\limits_{-1}^{1}\frac{du}{u^2+3}dt=\frac{1}{\sqrt 3}\left[ {\arctan \frac{u}{\sqrt 3}} \right]_{-1}^{1}$

Em tự thay số vào nốt nhé.

Trả lời 27-04-14 08:03 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 27-04-14 08:03 PM