đặt $ 2012^{2012}=a ; 2013^{2013}b$
ta chứng minh M<N
$ \Leftrightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+2012}{b+2013}$
$ \Leftrightarrow ab+2013a<ab+2012b$
$ \Leftrightarrow 2013a<2012b$
$ \Leftrightarrow 2013.2012^{2012}<2012.2013^{2013}$
$ \Leftrightarrow 2012^{2011}<2013^{2012}$ ( đúng )
vậy M<N