Bài này không có GTNN nhá, chỉ có GTLN thôi.
Lời giải như sau:
Ta có:
$\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}=\dfrac{1}{(x^2+y^2)+(y^2+1)+2}\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}$
Tương tự, ta có:
$M\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}$
$=\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{xyz}{2yz+2z+2xyz}+\dfrac{xyz}{2xz+2x^2yz+2xyz}$
$=\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{xy}{2y+2+2xy}+\dfrac{y}{2+2xy+2y}=\dfrac{1}{2}$
$\max M=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=y=z=1$