Xét $x^2+4x+3 = 1$ ta thấy phương trình này không có nghiệm nguyên với x.
$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$
Nếu $x = 2k$ thì $x^2+4x+3$ là một số lẻ trong khi $2^{y^2-2y}$ là số chẵn hoặc =1 hoặc số không nguyên nên phương trình vô nghiệm
vậy $x = 2k+1$ thì $x^2+4x+3 = (2k+2)(2k+4) = 4(k+1)(k+2)=2^{y^2-2y}$
do đó $(k+1)(k+2)=2^{y^2-2y-2}$
Nếu $y^2-2y-2<0$ thì $2^{y^2-2y-2}$ không phải là số nguyên trong khi $(k+1)(k+2)$ là số nguyên, nên $y^2-2y-2 \geq 0$
do đó $2^{y^2-2y-2}$ có thể là 1, 2, 4, 8, 16 .... có dạng là bội của 2
trong khi đó $(k+1)(k+2)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên sẽ là tích của một sô chẵn và 1 số lẻ
vậy để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì chỉ
$(k+1)(k+2) = 2$ và $2^{y^2-2y-2} = 2$
hay $k = 0$ hoặc $k=-3$ hay $x = 1$ hoặc $x = -5$
và $y^2-2y-2 =1$ hay $y^2-2y-3=0$ hay $y = -1$ hoặc $y=3$
Vậy phương trình có nghiệm $(x,y) = (1,-1),(1,3),(-5,-1),(-5,3)$