Đặt
$f(x)=(x+1)g(x)+4\Rightarrow f(-1)=4$.
$f(x)=(x^2+1)h(x)+2x+3\Rightarrow x^2+1 \mid f(x)-2x-3, \quad \forall x.$
Giả sử
$f(x)=(x+1)(x^2+1)p(x)+ax^2+bx+c,\quad \forall x.$
Từ $f(-1)=4\Rightarrow a-b+c=4\quad (1)$.
Từ $x^2+1 \mid f(x)-2x-3 \Rightarrow x^2+1 \mid (x+1)(x^2+1)p(x)+ax^2+(b-2)x+c-3\Rightarrow x^2+1 \mid ax^2+(b-2)x+c-3,\quad \forall x.$
Từ đây suy ra $b=2,a=c-3\quad (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra $a=3/2,b=2,c=9/2.$