Cộng theo từng vế hai PT và rút gọn ta được
$ \sqrt{x^{2} + x+ y+ 1}+\sqrt{y^{2}+ x+ y+ 1}=10\quad (1)$
Trừ theo từng vế hai PT và rút gọn ta được
$ x+y=8\quad (2)$
Từ (1) và (2) ta thu được hệ
$\begin{cases}\sqrt{x^{2} + 9}+\sqrt{y^{2}+ 9}=10 \\ x+y=8 \end{cases}$.
Mặt khác theo BĐT Mincopski
(Em có thể xem BĐT này tại đây
ta có
$10=\sqrt{x^{2} + 9}+\sqrt{y^{2}+ 9} \ge \sqrt{(x+y)^{2} + (3+3)^2} =\sqrt{8^{2} + 6^2} =10.$
Từ đây suy ra hệ có nghiệm duy nhất $x=y=4.$