a/ Ta có: $\widehat{OIP}$ = $\widehat{OAP}$ = 900 => O,I,A,P cùng thuộc 1 đường tròn
=> OIAP là tứ giác nội tiếp
=> $\widehat{PIA}$ = $\widehat{POA}$ (1)
Mặt khác: $\widehat{PBO}$ + $\widehat{PIO}$ = 900 + 900 = 1800
=> PBOI là tứ giác nội tiếp
=> $\widehat{PIB}$ = $\widehat{POB}$ (2)
Ta lại có: $\widehat{POA}$ = $\widehat{POB}$ (3)
Từ (1), (2), (3) => $\widehat{PIA}$ = $\widehat{PIB}$
b/
$\widehat{KMA}$ + $\widehat{KHA}$ = 900 + 900 = 1800
=> KMAH là tứ giác nội tiếp
=> $\widehat{KMH}$ = $\widehat{KAH}$
hay $\widehat{KMH}$ = $\widehat{KAB}$
Mà KHBN là tứ giác nội tiếp (cmtt như trên)
=> $\widehat{KHN}$ = $\widehat{KBN}$
=> $\widehat{KHN}$ = $\widehat{KMH}$
Tương tự $\widehat{KHM}$ = $\widehat{KNH}$
=> $\triangle HKM$ $\sim$ $\triangle MKH$
=> $\frac{HK}{MK}$ = $\frac{NK}{HK}$
=> HK.HK = MK.NK