a/ Ta có: \widehat{OIP} = \widehat{OAP} = 900 \Rightarrow O,I,A,P cùng thuộc 1 đường tròn \Rightarrow OIAP là tứ giác nội tiếp \Rightarrow \widehat{PIA} = \widehat{POA} (1) Mặt khác: \widehat{PBO} + \widehat{PIO} = 900 + 900 = 1800 \Rightarrow PBOI là tứ giác nội tiếp \Rightarrow \widehat{PIB} = \widehat{POB} (2) Ta lại có: \widehat{POA} = \widehat{POB} (3) Từ (1), (2), (3) \Rightarrow \widehat{PIA} = \widehat{PIB}b/ \widehat{KMA} + \widehat{KHA} = 900 + 900 = 1800 \Rightarrow KMAH là tứ giác nội tiếp \Rightarrow \widehat{KMH} = \widehat{KAH} hay \widehat{KMH} = \widehat{KAB} = \widehat{KBN} Mà KHBN là tứ giác nội tiếp (cmtt như trên) \Rightarrow \widehat{KHN} = \widehat{KBN} \Rightarrow \widehat{KHN} = \widehat{KMH} Tương tự \widehat{KHM} = \widehat{KNH} \Rightarrow \triangle HKM \sim \triangle MKH \Rightarrow \frac{HK}{MK} = \frac{NK}{HK} \Rightarrow HK.HK = MK.NK
a/ Ta có: \widehat{OIP} = \widehat{OAP} = 900
=>
; O,I,A,P cùng thuộc 1 đường tròn
=>
; OIAP là tứ giác nội tiếp
=>
; \widehat{PIA} = \widehat{POA} (1) Mặt khác: \widehat{PBO} + \widehat{PIO} = 900 + 900 = 1800
=>
; PBOI là tứ giác nội tiếp
=>
; \widehat{PIB} = \widehat{POB} (2) Ta lại có: \widehat{POA} = \widehat{POB} (3) Từ (1), (2), (3)
=>
; \widehat{PIA} = \widehat{PIB}b/ \widehat{KMA} + \widehat{KHA} = 900 + 900 = 1800
=>
; KMAH là tứ giác nội tiếp
=>
; \widehat{KMH} = \widehat{KAH} hay \widehat{KMH} = \widehat{KAB} = \widehat{KBN} Mà KHBN là tứ giác nội tiếp (cmtt như trên)
=>
; \widehat{KHN} = \widehat{KBN}
=>
; \widehat{KHN} = \widehat{KMH} Tương tự \widehat{KHM} = \widehat{KNH}
=>
; \triangle HKM \sim \triangle MKH
=>
; \frac{HK}{MK} = \frac{NK}{HK}
=>
; HK.HK = MK.NK