Đặt $\sqrt[6]{x}=a \ge 0;\ \sqrt[6]{y} =b\ge 0$
Hệ đưa về $\begin{cases} a^3+b^3=9 \\ a^2 + b^2 = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a+b)^3 -3ab(a+b) = 9 \\ (a+b)^2 -2ab=5 \end{cases}$
Đặt $a+b=S;\ ab=P$ hệ đưa về $\begin{cases} S^3 -3SP = 9 \\ S^2 -2P = 5 \end{cases}$
Giải hệ này dễ dàng có $S= 3;\ P= 2$ các cặp nghiệm còn lại vô nghiệm (Dùng điều kiện $S^2 \ge 4P$)
Vậy $a;\ b$ là nghiệm pt $t^2 -3t+2=0 \Leftrightarrow t=1;\ t=2$
Vậy $(a;\ b) = (1;\ 2);\ (2;\ 1)$ hay $(x;\ y)=(1;\ 64);\ (64;\ 1)$