Bất phương trình

Question

Cho $x, y, z>0$ thỏa mãn điều kiện $4x^2+4y^2+4z^2+16xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q= \frac{x+y+z+4xyz}{1+4(xy+yz+zx)}$

Confusion · Answer 1 · 11/21/2015 10:25:59 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 21-11-15 10:25 PM

Confusion
40 7

164K 882K

Confusion · Answer 2 · 11/21/2015 8:37:14 PM

Bổ đề:

x,y,z>0 cmr

x+y+z≥3xyz−−−√3

(1)
Cm: Đặt

x=a3,y=b3,z=c3⇒(1)⇔a3+b3+c3−3abc≥0

⇔(a+b+c).12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]≥0
Hiển nhiên do

x,y,z>0⇒a,b,c>0 và

12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]≥0 dấu

= khi

a=b=c⇒x=y=z
Áp dụng BDT

xy+yz+zx≤x2+y2+z2 và

x+y+z≥3xyz−−−√3

Do đó

A≥3xyz−−−√3+4xyz1+4(x2+y2+z2)

(2)

Mặt khác

x2+y2+z2=1−16xyz4

Thay vào

(2) suy ra

A≥3xyz−−−√3+4xyz1+4(x2+y2+z2)=3xyz−−−√3+4xyz1+4(1−16xyz4)=3xyz−−−√3+4xyz2(1−8xyz)
Đặt

xyz−−−√3=k

Suy ra

A≥3k+4k32(1−8k3)

Mặt khác nhận thấy từ điều kiện

x2+y2+z2=1−16xyz4⇒4(x2+y2+z2)+16xyz=1

1=4(x2+y2+z2)+16xyz≥12x2y2z2−−−−−−√3+16xyz (áp dụng bổ đề)

↔12x2y2z2−−−−−−√3+16xyz−1≤0⇒12k2+16k3−1≤0⇒(k−14).(k+12)2≤0

Do đó

k−14≤0 (do

(k+12)2≥0)
Như vậy

k≤14 mà

x,y,z>0⇒0<k<14
Mặt khác

A≥3k+4k32(1−8k3) với mọi

0<k≤14
Suy ra

A≥max(3k+4k32(1−8k3)) với

0<k≤14 (ta làm được điều này do

0<k≤14 là tập xác định)
Ta sẽ chứng minh

max(3k+4k32(1−8k3))=1328

⇔28(3k+4k3)≤26(1−8k3)

⇔320k3+84k−26≤0

⇔2(4k−1)(40k2+10k+13)≤0

⇔(4k−1)≤0 (do

40k2+10k+13=40(k2+14k+1340)=40((k+18)2+99320)>0)

⇔k≤14 đúng do ta đã cm trên
Suy ra

max(3k+4k32(1−8k3))=1328⇒A≥1328
Dấu

= khi

x=y=z và

k=xyz−−−√3=14⇒x=y=z=14

Hỏi	14-06-14 06:06 PM
Lượt xem	1638
Hoạt động	21-11-15 10:25 PM

Bất phương trình

2 Đáp án

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất phương trình

2 Đáp án

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan