Ta có: $y'=3x^{2}-12x+9$
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là $B(1;5)$ và $C(3;1)$
Gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $Ox$ $\Rightarrow C'(3;-1)$
$BC': 3x+y-8=0$
Để chu vi $\triangle ABC$ nhỏ nhất $\Rightarrow AB+AC$ nhỏ nhất
mà $AB+AC=AB+AC'$
$AB+AC'$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A, B, C' thẳng hàng$
$\Rightarrow A=BC'\cap Ox$ $\Rightarrow A(\frac{8}{3};0)$