E cần gấp ạ, hic, sáng mai e phải đi học r

Question

$1$. Cho a, b, c thỏa mãn:

$a+b+c>0$; $ab+bc+ca>0$; $abc>0$

C/m: $a>0,b>0,c>0$

score 3 · Answer 1

Giả sử c<0

Có $a+b+c>0 \Rightarrow a+b>-c \Rightarrow(a+b)c<-c^{2} \Rightarrow (a+b)c+ab<-c^{2}+ab \Rightarrow ab+bc+ca<-c^{2}+ab$

Lại có $ab+bc+ca>0\Rightarrow -c^{2}+ab>0$ (1)

Mà $abc>0 ; c<0 \Rightarrow ab<0 \Rightarrow -c^{2}+ab<0$ (2)

Có (1) và (2) mâu thuẫn với nhau $\Rightarrow$ Giả sử sai $\Rightarrow c>0$

Cmtt $\Rightarrow a>0; b>0$ (đpcm)

score 5 · Answer 2

do vai trò a,b,c bình đẳng, nên ko làm mất tính tổng quát, giải sử $a\geq b\geq c$ (*)

Từ bpt 3 ta thấy, hoặc là a,b,c đều là số dương (điều cần chứng minh)

hoặc là 2 trong 3 số đó là số dương, và số còn lại là âm, (ta chưng minh điều này ko thể xảy ra)

Thật vậy, theo giải thiết ở (*) kết hợp với bpt (1) thì 2 số âm là $b<0,c<0 (a>-(b+c))$

đặt $b'=-b \geq 0, c'= -c \geq 0 \to a>b'+c'$ (**)

Như vậy ta có $ab+ac+bc=a(b+c)+bc = -a(b'+c')+b'c' <-(b'+c')^2+b'c' = -(b'^2+b'c'+c'^2)< 0$ (vô lý) trái với bpt 2

Vậy ko thể tồn tại 2 trong 3 số là âm được, vậy 3 số đã cho phải là dương

2 Đáp án