|
|
Tìm $m$ để hai phương trình sau có nghiệm chung:
$x^{4}+mx^{2}+1=0\qquad (1)$
$x^{3}+mx+1=0\qquad (2)$
Nếu $(1)$ và $(2)$ có nghiệm chung $x=a$ thì $\begin{cases}a^{4}+ma^{2}+1=0 \\ a^{3}+ma+1=0\end{cases}$
$\Rightarrow (a^{4}+ma^{2}+1)-(a^{3}+ma+1)=0\Leftrightarrow a^{4}-a^{3}+ma^{2}-ma=0$
$\Leftrightarrow a^{3}(a-1)+ma(a-1)=0\Leftrightarrow a(a^{2}+m)(a-1)=0$
$\Leftrightarrow\left[ \begin{matrix}a=0 \\ a=1 \\ a=\pm\sqrt{-m}\qquad \mbox{ với } m\leq 0\end{matrix}\right.$
Dễ dàng thấy $a=0$, $a=\pm\sqrt{m}$ không là nghiệm của phương trình $(1)$ nên nghiệm chung của hai phương trình (nếu có) chỉ có thể là $x=a=1$. Khi đó $\begin{cases}(1)\Leftrightarrow 1+m+1=0 \\ (2)\Leftrightarrow 1+m+1=0\end{cases}\Leftrightarrow m=-2$
|