Trước khi làm bài này, bạn cần biết một số công thức tổng quát của đạo hàm $[f(x)g(x)]^{(n)} =\sum_{i=0}{n}C_n^if^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$
$\sin^n(ax)= a^n\sin(ax+n\frac{\pi}{2})$ (a là hằng số)
$\coṣ^n(ax) =a^n\cos^n(ax+n\frac{\pi}{2})$
$\sin x\sin 2x\sin 3x =\frac{1}{4}(\sin 2x+\sin 4x -\sin 6x)$
từ đó ta có
$I = (\sin x\sin 2x\sin 3x)^{(2014)} =\frac{1}{4}(\sin 2x+\sin 4x -\sin 6x)^{(2014)}$
$=\frac{1}{4}(2^{2014}\sin (2x+2014\frac{\pi}{2})+4^{2014}\sin (4x+2014\frac{\pi}{2})-6^{2014}\sin (6x+2014\frac{\pi}{2}))$
$=\frac{1}{4}(2^{2014}\sin (2x+\pi)+3^{2014}\sin (4x+\pi)-6^{2014}\sin (6x+\pi))$
khi $x=0$ thì $I = 0$
bạn có thể áp dụng cách khác bằng cách $f(x) = \sin x\sin 2x; g(x)=\sin 3x$
$(\sin x\sin 2x\sin 3x)^{(2014)} = \sum_{i=0}^nC_n^i(\sin x\sin 2x)^{(i)}(\sin 3x)^{(n-i)}$
$=\sum_{i=0}^nC_n^i\sum_{j=0}^iC_i^j(\sin x)^{(j)}(\sin 2x)^{(i-j)}(\sin 3x)^{(n-i)}$
Rồi bạn biến đổi cái này cũng tính ra $I=0$ khi $x=0$
Cách này hơi dài cần một chút tiểu xảo thì mới ra được