Các bạn giải dùm mình chi tiết nhé. hình như là làm theo phương pháp quy nạp nhưng mình vẫn không rõ pp này. chứng minh thì dài dòng lắm. cảm ơn :)

Question

tìm giới hạn:

1) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }$ $\frac{1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{3^{n}}}$

2) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }$ $(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1).n}$)

3) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }$ $\frac{1-2+3-4+...+2n}{\sqrt{n^{2}+1}}$

4) $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty }$ $\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right ) \left ( 1- \frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right ) $

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

4. Ta có: $1-\dfrac{1}{k^{2}} =\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}$. Khi đó:

$S_{n}=\left( 1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) \left( 1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) ... \left( 1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$

$=\dfrac{1.3}{2^{2}}.\dfrac{2.4}{3^{2}}.\dfrac{3.5}{4^{2}}.\dfrac{4.6}{5^{2}}.....\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}$

$=\dfrac{n+1}{4n}$

$\Rightarrow \lim S_{n}=\lim\dfrac{n+1}{4n}=\lim\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{4}=\dfrac{1}{4}$ vì $\lim\dfrac{1}{n}=0$

Thank b. M hieu roi – buiquynh1993 11-09-14 02:49 PM

Bạn để ý các phân số liên tiếp, tử số của phân số sau có một thành phần là mẫu số của phân số phía trước nên rút gọn được cho nhau. phân số đầu tiên mẫu là 2^2 thì phân số thứ hai trên tử số có số 2 để giản ước... – onthitoan.com 10-09-14 07:58 PM

Bạn có thể giải thích chỗ đó chút ko? – buiquynh1993 10-09-14 07:01 PM

đúng rồi, mình nhầm bước 4, dưới mẫu chỉ là 2n thôi nên kết quả giới hạn là 1/2 – onthitoan.com 10-09-14 04:00 PM

CAm on ban. Nhug hih nhu ban nham Từ bước 3-4. trong sách có giải =(n 1)/2n. Nhưng mình vẫn không hiểu vì sao – buiquynh1993 10-09-14 02:44 PM

score 0 · Answer 2

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

3. $S_{n}=1-2+3-4+...+(2n-1)-2n=(1-2)+(3-4)+...+[(2n-1)-2n]=-n$

$\lim\dfrac{S_{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}=\lim\dfrac{-n}{\sqrt{n^{2}+1}}$

$=\lim\dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}=-1$ vì $\lim\dfrac{1}{n^{2}}=0$

score 0 · Answer 3

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

2. Ta có:

$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ với mọi $k$ là số tự nhiên khác $0$. Khi đó:

$S_{n}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}= ... +\dfrac{1}{(n-1)n}$

$=\left( 1-\dfrac{1}{2}\right) +\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +...+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)$

$=1-\dfrac{1}{n}$. Khi đó $\lim S_{n}=1$ vì $\lim\dfrac{1}{n}=0$

score 0 · Answer 4

1. Ta có:

$S_{n+1}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+...+\dfrac{1}{2^{n}}$ là tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_{1}=1$ và $q=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $S_{n+1}=\dfrac{u_{1}(1-q^{n+1})}{1-q}=\dfrac{1.(1-\dfrac{1}{2^{n+1}})}{1-\dfrac{1}{2}}=2-\dfrac{1}{2^{n}}$

$R_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^{2}}+...+\dfrac{1}{3^{n}}$ là tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_{1}=1$ và $q=\dfrac{1}{3}$. Khi đó $R_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( 3-\dfrac{1}{3^{n}}\right)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{n+1}}{R_{n+1}}=\dfrac{2\left( 2-\dfrac{1}{2^{n}}\right)}{3-\dfrac{1}{3^{n}}}$

$\Rightarrow\lim\dfrac{S_{n+1}}{R_{n+1}}=\dfrac{4}{3}$ vì $\lim\dfrac{1}{2^{n}}=\lim\dfrac{1}{3^{n}}=0$