Để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta =(2m-1)^{2}-4m^{2}=1-4m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{4}$
Khi đó $x_{1}+x_{2}=1-2m$ và $x_{1}x_{2}=m^{2}$
$P=\dfrac{(x_{1}-x_{2})^{2}+7}{x_{1}+x_{2}+1}=\dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+7}{x_{1}+x_{2}+1}$
$=\dfrac{(1-2m)^{2}-4m^{2}+7}{1-2m+1}=\dfrac{8-4m}{2-2m}=\dfrac{2}{1-m}+2$
Để $P$ nguyên thì $1-m$ phải là ước số của $2$ là $\pm 2$ hoặc $\pm 1$.
$1-m=2\Rightarrow m=-1$
$1-m=-2\Rightarrow m=3$
$1-m=1\Rightarrow m=0$
$1-m=-1\Rightarrow m=2$
Do điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biêt là $m<\dfrac{1}{4}$ nên $m$ lớn nhất là $m=0$