Câu b.$\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4.3^n}$ $(*)$
+ $n=1$ thì $(*)$ đúng
+ Giả sử $(*)$ đúng với $n=k\Rightarrow \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{k}{3^k}=\frac{3}{4}-\frac{2k+3}{4.3^k}$
$\Rightarrow \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{k}{3^k}+\frac{k+1}{3^{k+1}}=\frac{3}{4}-\frac{2k+5}{4.3^{k+1}}$
$\Rightarrow (*)$ cũng đúng với $n=k+1$
Vậy $(*)$ đúng với mọi $n\in N^*$