Bất đẳng thức

Question

Cho

$x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn:

$xyz=8.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\sqrt{log^{2}_{2}x+1}+\sqrt{log^{2}_{2}y+1}+\sqrt{log^{2}_{2}z+4}.$

score 2 · Answer 1

Ta có:

$xyz=8$

Logarit cơ số 2 ta được:

$\log_2x+\log_2y+\log_2z=3$

$A=\sqrt{\log^2_2x+1^2}+\sqrt{\log^2_2y+1^2}+\sqrt{\log^2_2z+2^2}$

$\geq \sqrt{(\log_2x+log_2y+log_2z)^2+(1+1+2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow \begin{cases}\log_2x+\log_2y+\log_2z=3 \\ \frac{\log_2x}{1}=\frac{\log_2y}{1}=\frac{\log_2z}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt[4]{8} \\ y=\sqrt[4]{8} \\ z=\sqrt{8} \end{cases}$

1 Đáp án