Bất đẳng thức

Question

Cho $a, b, c$ là 3 số dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\geq \frac{9}{2}$

score 1 · Answer 1

Áp dụng trự tiếp AM-GM ta có:

$\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{\prod(a^2+b^2)}{\prod(c^2+ab)}}$

Có $(c^2+b^2)(c^2+a^2)\geq (ab+c^2)^2$ Tương tự rồi nhân vào khai căn thì có

$\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\geq 3$

Mà $\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq\frac{3}{2}$

Do đó có đpcm.

1 Đáp án