* chứng minh 0<un<2 :với n=1→u1=√2 → bđt đúng với n=1
giả sử bđt đúng ∀n=k∈N∗ ta có 0<uk<2
ta phải chứng minh 0<uk+1<2. thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
0<uk<2⇔2<2+uk<4⇔√2<√2+uk<2⇔0<uk+1<2 ( đpcm )
từ đó suy ra (un) bị chặn (1).
* giả sử un+1un<1⇔un+1<un⇔u2n-un-2>0
⇔ un<-1 hoặc un>2 ( không thỏa mãn điều đã cm) nên un+1un>1
từ đó suy ra (un) là dãy đơn điệu tăng (2)
từ (1), (2) ⇒ tồn tại giới hạn của (un)
gọi limun=limun+1=a nên 0≤a≤2
theo hệ thức truy hồi ta có a=√2+a. giải pt ta được a=-1 (loại) hoặc a=2 ( thỏa mãn )
vậy limun=2.
mong bạn đọc cho ý kiến!