* chứng minh 0<$u_{n}$<2 :với n=1$\rightarrow $$u_{1}$=$\sqrt{2}$ $\rightarrow $ bđt đúng với n=1
giả sử bđt đúng $\forall $n=k$\in $$N^{*}$ ta có 0<$u_{k}$<2
ta phải chứng minh 0<$u_{k+1}$<2. thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
0<$u_{k}$<2$\Leftrightarrow $2<2+$u_{k}$<4$\Leftrightarrow $$\sqrt{2}$<$\sqrt{2+u_{k}}$<2$\Leftrightarrow 0<$$u_{k+1}$<2 ( đpcm )
từ đó suy ra ($u_{n}$) bị chặn (1).
* giả sử $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$<1$\Leftrightarrow $$u_{n+1}$<$u_{n}$$\Leftrightarrow u_{n}^{2}$-$u_{n}$-2>0
$\Leftrightarrow $ $u_{n}$<-1 hoặc $u_{n}$>2 ( không thỏa mãn điều đã cm) nên $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$>1
từ đó suy ra ($u_{n}$) là dãy đơn điệu tăng (2)
từ (1), (2) $\Rightarrow$ tồn tại giới hạn của $(u_{n})$
gọi $limu_{n}$=$limu_{n+1}$=a nên $0\leq$a$\leq2$
theo hệ thức truy hồi ta có a=$\sqrt{2+a}$. giải pt ta được a=-1 (loại) hoặc a=2 ( thỏa mãn )
vậy $limu_{n}$=2.
mong bạn đọc cho ý kiến!