Bất đẳng thức

Question

CMR $|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|+|x+y+z|\geq2(|x|+|y|+|z|)$

score 1 · Answer 1

Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấu

Giả sử là x và y

TH1 x,y,z cùng dấu

theo BĐT $ |a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$ $(1)$ với dấu $=$ tại $a,b,c$ cùng dấu thì $=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$ $(*)$

Ta lại có Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ $(2)$

$ |x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$

$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó => $ |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$ $(**)$

Từ (*) và (**) => đpcm

TH2 x,y,-z cùng dấu, theo $(1)$ thì $ |x+y-z|=|x|+|y|+|z|$ $(***)$

Áp dụng $(2)$

$ |x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$

$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó suy ra

$|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$$(****)$

Từ (***) và (****) suy ra đpcm

Dấu = xảy ra tại $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$

score 2 · Answer 2

Đặt $a=x+y-z,b=y+z-x,c=z+x-y$.Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng dấu chẳng hạn là $a.b\geq0$.Khi đó ta có đẳng thức:

$\left| {a} \right|+\left| {b} \right|=\left| {a+b} \right|=2\left| {y} \right|$

Ta có: $x+y+z=a+b+c;2x=a+c;2z=b+c$

Do vậy ta cần chứng minh:

$\left| {c} \right|+\left| {a+b+c} \right|\geq \left| {a+c} \right|+\left| {b+c} \right|$(với $a.b\geq0$)

$\Leftrightarrow \left| {c} \right|.\left| {a+b+c} \right|+ab\geq\left| {a+c} \right|.\left| {b+c} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {c(a+b+c)} \right|+ab\geq \left| {c(a+b+c)+ab} \right|(*)$

Đặt $m=c(a+b+c),n=ab\Rightarrow \left| {ab} \right|=ab$(a,b cùng dấu)

$BĐT(*) \Leftrightarrow \left| {m} \right|+\left| {n} \right|\geq \left| {m+n} \right|\Leftrightarrow \left| {mn} \right|\geq mn$

Dấu bằng xảy ra khi trong các số $a,b,c ,a+b+c$ chia làm 2 cặp cùng dấu.Chẳng hạn:$ab\geq0,c(a+b+c)\geq 0$

score 5 · Answer 3

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Chú ý: $\left| a{} \right|=\left|-a {} \right|$

$\left| x-y-z{} \right|+\left| x+y+z{} \right|\ge 2\left| x{} \right|$

$\left|x-y+z {} \right|+\left| {} -x-y+z\right|\ge 2\left| z-y{} \right|$

Tương tự rồi cộng lại ta có:

$P\ge2\sum\left|z-y {} \right|+2\sum\left|x{} \right|$

Và: $\sum\left|z-y {} \right|\ge 0$

Vậy ta có đpcm

lịch sử

anh ơi |x-y-z|=|-x y z| chớ – ahihi 21-01-15 09:49 PM

e chưa hiểu lắm, thế thì VT phải mất 3 lần sao a – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-01-15 01:36 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 4 · 1/21/2015 9:46:37 PM

Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấu

Giả sử là x và y

TH1 x,y,z cùng dấu

theo BĐT $ |a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$ $(1)$ với dấu $=$ tại $a,b,c$ cùng dấu thì $=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$ $(*)$

Ta lại có Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ $(2)$

$ |x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$

$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó => $ |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$ $(**)$

Từ (*) và (**) => đpcm

TH2 x,y,-z cùng dấu, theo $(1)$ thì $ |x+y-z|=|x|+|y|+|z|$ $(***)$

Áp dụng $(2)$

$ |x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$

$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó suy ra

$|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$$(****)$

Từ (***) và (****) suy ra đpcm

Dấu = xảy ra tại $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$

Hỏi	01-01-15 04:45 PM
Lượt xem	1843
Hoạt động	04-02-15 10:12 PM

Bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan