ta có $1=\frac{n^{n}}{n^{n}}<\frac{1+2^{2}+3^{3}+...+n^{n}}{n^{n}}<\frac{n+n^{2}+n^{3}+...+n^{n}}{n^{n}}$$\Leftrightarrow 1<u_{n}<\frac{n(1-n^{n})}{n^{n}(1-n)}$
mà $lim\frac{n(1-n^{n})}{n^{n}(1-n)}=lim\frac{\frac{1}{n^{n}}-1}{\frac{1}{n}-1}=1$ ( chia cả tử và mẫu với $n^{n+1}$ )
từ đó suy ra $limu_{n}=1$.