Áp Dụng BĐT AM-GM ta có $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc \Rightarrow abc \leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}=\frac{ab+bc+ca}{3}$
vậy ta chỉ cần chứng minh
$ab+bc+ca+\frac{1}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{3}+3$
$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{3}+\frac{ab+bc+ca}{3}+\frac{1}{abc}\geq 3$
Áp Dụng BĐT AM-GM ta có
$VT\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^2}{9abc}}\geq 3$
Vì $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc$
Vậy ta đã có ĐPCM :D
đẳng thức xẩy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$