Gọi Tên Anh,The X-File :)

Question

Chứng Minh Rằng

$1$ Với Mọi

$a,b,c \in [0,1]$

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\leq 1$

$2$ với

$x,y,z$ là các số không âm và

$4(x+y+z)=3xyz$

tìm

$MAX$

$P=\frac{1}{x+2+yz}+\frac{1}{y+2+zx}+\frac{1}{z+2+xy}$

$3$ cho

$a,b,c$ là các số dương , chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}}\geq \frac{4}{3}\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )$

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 2/4/2015 8:08:17 PM

ta có

$4(x+y+z)=4xyz\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{4}$

ta chứng mình được BĐT sau

$\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\Leftrightarrow \left ( a+b \right )^2\geq 4ab$

Áp Dụng ta được

$\sum_{}^{} \frac{1}{x+2+yz}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \right )+\frac{1}{4}.\frac{3}{4}$

Dự đoán

$MaxP=\frac{3}{8}\Leftrightarrow x=y=z=2$

vậy ta sẽ chứng minh

$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq \frac{3}{4}$

Thật vậy BĐT trên tương đương

$xy+yz+zx\geq12$ (đúng)

vì Áp Dụng BĐt AM-GM ta có

$3xyz=4(x+y+z)\geq 12\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow (xyz)^2\geq 64 \Rightarrow xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\geq 12$

$XONG$

vậy

$MaxP=\frac{3}{8} \Leftrightarrow x=y=z=2$

trình bày còn lủng củng mong bạn thông cảm

๖ۣۜDevilღ · Answer 2 · 2/4/2015 7:30:52 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Cần trả +10,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 04-02-15 07:30 PM

๖ۣۜDevilღ
21 3

10M 539K

Lung Linh là lên luôn :v :v – ๖ۣۜDevilღ 04-02-15 07:32 PM

๖ۣۜDevilღ · Answer 3 · 2/4/2015 7:11:40 PM

Do

$a,b,c$ có vai trò như nhauneen không mất tính tổng quát,giải sử a=max{a,b,c}

từ đó ta có

$\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{c+b+1}$

$\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{c+b+1}$

Mặt Khác Áp Dụng BĐT AM-GM ra có

$\frac{\left ( 1+b+c \right )+\left ( 1-b \right )+\left ( 1-c \right )}{3}\geq \sqrt[3]{\left ( 1+b+c \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}$

$\Rightarrow 1\geq \left ( 1+b+c \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\Rightarrow \left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\leq \frac{1-a}{b+c+1}$