[Hệ phương trình 51]

Question

$\begin{cases}x^3+y^3=xy\sqrt{2(x^2+y^2)} \\ 4\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=9(y-1)\sqrt{2x-2} \end{cases}$

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 1 · 7/27/2015 11:55:03 AM

Điều kiện:

$x\geq 1.$

Ta thấy

$x=1$ không thoả mãn PT (2)

$\Rightarrow x>1.$ Từ PT(2), ta có:

$y>1.$

Ta có:

$x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$

$xy\sqrt{2(x^2+y^2)}= \sqrt{xy.2xy(x^2+y^2)}\leq \sqrt{\frac{(x+y)^2}{4}.\frac{(x+y)^4}{4}}=\frac{(x+y)^3}{4}.$

Do đó:

$(1)\Leftrightarrow x=y.$

Thay vào PT (2), ta được:

$4\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=9(x-1)\sqrt{2x-2}.$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{2x-2}}=\frac{9(x-1)}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{81(x-1)^2}{8}$

$(*)$

Xét

$f(x)= \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-1} ;g(x)=\frac{81(x-1)^2}{8} ;x>1,$ ta có:

$f(x)$ nghịch biến,

$g(x)$ đồng biến trên khoảng

$(1;+\infty ).$

Do đó: PT (*) có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng

$(1;+\infty ).$

Mặt khác:

$f(\frac{5}{3})=g(\frac{5}{3})\Rightarrow x=\frac{5}{3}\Rightarrow y=\frac{5}{3} .$

Vậy:

$(x;y)=(\frac{5}{3};\frac{5}{3} )$

1 Đáp án