Bất phương trình

Question

Câu 1:Tìm m để bất phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x} \leq $ m có nghiệm đúng $\forall x \in [0;1]$

Câu 2: Tìm m để phương trình: $\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1} = m$ có nghiệm thực?

score 3 · Answer 1

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình :

\sqrt{x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1} = m

(1) có nghiệm.
Giải:
Xét hàm số y = f(x) =

\sqrt{x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1}

Miền xác định: D1= R
Đạo hàm:

y^{'} = \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} - \frac{2 x - 1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} - \frac{2 x - 1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}} = 0

\Leftrightarrow (2 x - 1) \sqrt{x^{2} + x + 1} = (2 x + 1) \sqrt{x^{2} - x + 1}

\Leftrightarrow {\begin{array}{l} (2 x - 1) (2 x + 1) > 0 \\ {(2 x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) = {(2 x + 1)}^{2} (x^{2} - x + 1) \end{array}

(vn)
Mặc khác y’ (0)

\Rightarrow

y’>0

\forall

x nên hàm số đồng biến.
Giới hạn:

lim_{x \to \infty}

y = lim_{x \to \infty}

\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + \sqrt{x^{2} + x + 1}} = - 1

lim_{x \to \infty}

y = lim_{x \to \infty}

\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + \sqrt{x^{2} + x + 1}} = 1

Từ đó ta có bảng biến thiên và rút ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1

chị thảo lắm, p chia ngọt sẻ bùi chứ. chị mak, p nhường e :)) – Trần Trân 25-05-16 03:14 PM

"sống trong đời sống cần có một tấm lòng, để làm gì em biết ko" – Trần Trân 25-05-16 03:13 PM

thôi kính lão đắc thọ.... cho chị hết :D – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 25-05-16 03:11 PM

vậy sao? ==". nao kêu Khờ ca cấp thêm cái danh hiệu đó, chị em ta cùng hưởng há?/ ;) – Trần Trân 25-05-16 03:00 PM

chắc tại ko có cái danh hiệu " mụ phù thủy" đó mak... nên chị ko dc nhận =) heheh.... – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 25-05-16 02:56 PM

mà Jin này, sao chị trl mấy câu lâu r mà nó ko đc cái Thầy phù thủy nhể???? – Trần Trân 25-05-16 02:55 PM

:v sặc lên đến mụi luk ak – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 25-05-16 02:53 PM

hí hí, =)), copy trong thư viện đó, muội ngốc ak :)) – Trần Trân 25-05-16 02:51 PM

ủa chị học lim rồi ak :D VIP thế – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 25-05-16 02:49 PM

score 3 · Answer 2

Ví dụ 3:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} = m

(*)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0
Ta có:

\sqrt[4]{x_{0}} + \sqrt[4]{1 - x_{0}} + \sqrt{x_{0}} + \sqrt{1 - x_{0}} = m

\Rightarrow x = 1 - x_{0}

cũng là nghiệm của phương trình (*)
Vì là nghiệm duy nhất nên

x_{0} = 1 - x_{0} \Leftrightarrow x_{0} = \frac{1}{2}

Thay vào (*) ta được

m = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}

vào (*) ta được:

\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}

(1)
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:

\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} ⩽ 2

(Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

)

\Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}

Vậy (1)

\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất

x = \frac{1}{2}

Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là

m = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}

2 Đáp án