Ko mất tính tổng quát, giả sử $x_2 \ge x_1$Ta có : $\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1} \ge 1$
$\Rightarrow x_4 \ge x_3 \ge x_2 \ge x_1$
Phương trình $x^2-3x+m=0$ có $2$ nghiệm $x_2 \ge x_1 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2}$ với $\Delta_1=9-4m \ge 0$ hay $m \le \frac{9}{4}$
Phương trình $x^2-12x+n$ có $2$ nghiệm $x_4 \ge x_3 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_4=6+\sqrt{\Delta_2};x_3=6-\sqrt{\Delta_2}$ với đk $\Delta_2=36-n \ge 0$ hay $n \le 36$
$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_4}{x_3}\Rightarrow \frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{3-\sqrt{\Delta_1}}=\frac{6+\sqrt{\Delta_2}}{6-\sqrt{\Delta_2}}$
Nhân chéo rút gọn đc $2\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{\Delta_2}(1)$
$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}\Rightarrow x_2^2=x_1x_3\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-\sqrt{\Delta_2}) (2) $
Thế $(1)$ vào $(2)$, ta có $(\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-2\sqrt{\Delta_1})$
$\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(3-\sqrt{\Delta_1})^2$
$\Rightarrow 3+\sqrt{\Delta_1} =2(3-\sqrt{\Delta_1})\Rightarrow \sqrt{\Delta_1}=1\Rightarrow \Delta_1=1$
$\Rightarrow \sqrt{\Delta_2}=2\Rightarrow \Delta_2 =4$
Ta có $\begin{cases} \Delta_1=1 \\ \Delta_2= 4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}9-4m=1 \\ 36-n=4 \end{cases}\Leftrightarrow \color{red}{\begin{cases}m=2 \\ n=32 \end{cases}} $ (thõa đk)