Câu 1:1) Cho $a, b, c$ là số thực thỏa mãn:
$ab + bc + ca = 2015$. Tính giá trị biểu thức:
$P = \frac{a}{2015+a^{2}}+\frac{b}{2015+b^{2}}+\frac{c}{2015+c^{2}}-\frac{4030}{2015(a+b+c)-abc}$
2) Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn:
$a^{3}+b^{3}=5c^{3}$
Chứng minh rằng: a+b+c chia hết cho 6
3) Tìm các cặp (x;y) nguyên thỏa mãn:
$x^{2}(y^{2}+1)+y^{2}+24=12xy$
Câu 2:
$a)3x+\sqrt{5-x}=2\sqrt{x-3}+11$
$b)2x^{2}+4x-8=(2x+3)\sqrt{x^{2}-3}$
Câu 3:
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn điều kiện:
$x-\sqrt{x+1}=\sqrt{y+5}-y$
Tìm giá trị lớn nhất của $P=x+y$
Câu 4:
Qua $M$ cố định ở ngoài đường tròn $(O;R)$. Qua $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA, MB$ ($A, B$ là các tiếp điểm). Qua $P$ di động trên cung nhỏ $AB(P\neq A; B)$ dựng tiếp tuyến của $(O)$ cắt $MA, MB$ lần lượt tại $E$ và $F$
a) CMR: Chu vi $\Delta MEF$ không đổi khi $P$ di động trên $AB$
b) Lấy $N$ trên tiếp tuyến $MA$ sao cho $N, F$ khác phía $AB$ và $AN=BF$. CMR $AB$ đi qua trung điểm của $NF$
c) Kẻ đường thẳng $d$ qua $M$ của $(O)$ tại $H$ và $K$. Xác định vị trí của $d$ để $MH+MK \min$
Câu 5:
1) Cho $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p^{2}+2018$ là số nguyên tố. CMR: $6p^{2}+2015$ là số nguyên tố.
2) Cho tập $x={1; 2; 3;...; 2015}$. Tô màu các phần tử $x$ bởi $5$ màu: Xanh, đỏ, vàng, tím, nâu.
CMR tồn tại $3$ phần tử $a, b, c$ của $x$ sao cho $a$ là bội của $b; b$ là bội của $c$