Diện tích tứ giác

Question

Cho tứ giác thường ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = a. Tính diện tích tứ giác theo a, b, c, d.

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido · Answer 1 · 1/6/2016 5:31:35 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Xài Brahmagupta : ( mình nhầm không phải hê-ron )

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ (*)

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

Ta chứng minh:

Diện tích tứ giác cần tìm bằng tổng diện tích hai tam giác ADB và BDC:

S=\frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C

.

Nhưng do ABCD là tứ giác nội tiếp nên hai góc A và C bù nhau (hai góc có tổng bằng 180°), suy ra $\sin A=\sin C$ . Vậy:

S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin A

S^2=\frac{1}{4}(ab+cd)^2\sin^2 A

4S^2=(ab+cd)^2(1-\cos^2 A)

4S^2=(ab+cd)^2-(ab+cd)^2\cos^2 A

.

Sử dụng định lý cos cho hai tam giác ADB và BDC với cạnh DB chung:

a^2+b^2-2ab\cos A=c^2+d^2-2cd\cos C

.

Thay $\cos C=-\cos A$ (do hai góc A và C bù nhau):

2(ab+cd)\cos A=a^2+b^2-c^2-d^2

.

Thay vào công thức bên trên, ta có:

16S^2=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2

=\left[2(ab+cd)+a^2+b^2-c^2-d^2\right]\left[2(ab+cd)-a^2-b^2+c^2+d^2\right]

=\left[(a+b)^2-(c-d)^2\right]\left[(c+d)^2-(a-b)^2\right]

= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).

Thay $a+b+c+d=2p$ , thu được:

16S^2=(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)(2p-2d)

,

hay

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

.

Công thức được tự do áp dụng mà không cần chứng minh ^^

* mình nhằm không có nhân $p$ giống như tam giác mà chỉ nhân các hiệu ...^^

Chúc bạn học tốt

lịch sử

Sửa 06-01-16 05:31 PM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
161 4

10M 1M

Trả lời 05-01-16 08:52 PM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
161 4

10M 1M

công thức hê-ron suy ra từ cái này – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 06-01-16 01:09 PM

đúng thì click "V" và vote up nhak – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 06-01-16 01:06 PM

Nếu chia tứ giác thành hai tam giác thì cần biết thêm độ dài đường chéo nữa để có thể áp dụng công thức hê-rông – tranhai98 06-01-16 04:11 AM

Xin lỗi nhưng có thể giải thích rõ làm sao công thức hê-rông thường được sử dụng vào tam giác lại có thể áp dụng để tính diện tích tứ giác – tranhai98 06-01-16 04:06 AM