$PT \Leftrightarrow mx^2-4mx+m+3\geq0$Xét $m=0$ không thỏa mãn bất phương trình.
Xét $m<0\Rightarrow m(mx^2-4mx+m+3)\leq0$
$\Leftrightarrow m^2(x^2-4x+4)-3m^2+3m\leq0$
$\Leftrightarrow m^2(x-2)^2-3m(m-1)\leq0$
$\Leftrightarrow 3m(m-1)\geq m^2(x-2)^2\geq0$
$\Leftrightarrow m-1\leq 0$
$\Leftrightarrow m\leq1$.Mà $m<0$ nên dấu bằng không thể xảy ra.(loại)
Xét $m>0\Rightarrow m(mx^2-4mx+m+3)\geq0$
$\Leftrightarrow m^2(x-2)^2-3m(m-1)\geq0$.Do $m^2(x-2)^2\geq0$ với mọi $x;m$.
$\Rightarrow -3m(m-1)\geq0$
$\Leftrightarrow m-1\leq0$
$\Leftrightarrow m\leq1\Rightarrow 0<m\leq 1$
Vậy với $0<m\leq1$ thì bất phương trình thỏa mãn.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $m=1;x=2$.
Cách của Lê Việt Tùng sai rồi.