Đường thẳng qua $I(0;1)$ có dạng $y=kx+1$
Phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng và $(P)$ là $x^{2}-kx-1=0\quad (1)$
Để đường thẳng cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$; $x_{2}\Leftrightarrow \Delta =k^{2}+4>0$
Giả sử hoành độ hai điểm $M$; $N$ lần lượt là $x_{1}$; $x_{2}$ với $x_{1}$; $x_{2}$ là nghiệm của phương trình $(1)$ thì theo Vi-et ta có: $\begin{cases}x_{1}+x_{2}=k \\ x_{1}x_{2}=-1\end{cases}$
Khi đó $M(x_{1}; x_{1}^{2})$, $N(x_{2};x_{2}^{2})$
$MN^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}(x_{2}+x_{1})^{2}$
$=(x_{2}-x_{1})^{2}[(x_{2}+x_{1})^{2}+1]$
$=[(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}][(x_{2}+x_{1})^{2}+1]$
$=(k^{2}+4)(k^{2}+1)=(2\sqrt{10})^{2}=40$
$\Leftrightarrow k^{4}+5k^{2}-36=0$. Giải phương trình này bằng cách đặt $t=x^{2}$, ($t\geq 0$) được $k=\pm 2$.
Đối chiếu điều kiện $\Delta >0$ ở trên thấy thỏa mãn. Vậy có hai đường thẳng qua $I(0;1)$ và cắt $(P): y=x^{2}$ tại hai điểm $M$, $N$ sao cho $MN=2\sqrt{10}$ là: $y=2x+1$ và $y=-2x+1$