Dãy số, cấp số. Ai hứng thú k?

Question

Cho hàm số: y = x4+ax2+b. Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng : 9a2-100b = 0.

score 4 · Answer 1

hoành độ giao điểm là nghiệm pt

$x^{4}+ax^{2}+b=0$

đặt

$t=x^{2}$

pt

$\Leftrightarrow t^{2}+at+b=0$

vì pt đã cho có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng nên ta có

$\begin{cases}a^{2}-4b>0 \\ t_{1}+t_{2}>0 \end{cases};\left\{ \begin{array}{l} t_{1}.t_{2}>0\\ t_{2}=9t_{1} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a^{2}-4b>0 \\ a<0 \end{cases};\begin{cases}b>0 \\ t_{2}=9t_{1} (*)\end{cases}$

với các điều kiện đó

$(*)\Leftrightarrow \frac{-a+\sqrt{a^{2}-4b}}{2}=9\frac{-a-\sqrt{a^{2}-4b}}{2}$

$\Leftrightarrow 4a=-5\sqrt{a^{2}-4b}$

$\Leftrightarrow 16a^{2}=25(a^{2}-4b)$

$\Leftrightarrow 9a^{2}-100b=0$ (đpcm)

1 Đáp án